椭圆的画法(通过几何画板学解析几何(一)——椭圆的九种画法)

椭圆的画法
       之前说过,几何画板的工具包画椭圆很方便,有各种画法,但是这些只是马上就出来一个椭圆,怎么画出来的是工具包设置好的,这不是我要的.
       今天我们通过椭圆的定义、方程以及性质,来探索怎么画出一个椭圆.
一.通过椭圆定义画椭圆:
       我们知道,椭圆是到两定点(定点距离为2c)距离之和为2a(a>c>0)的点的轨迹.
       我们有常见的三个方法:
       法一:绘制线段AB,在AB上取一点C,绘制线段AC、BC,绘制点D、E,分别以D、E为圆心,AC、BC为半径作圆,构造两圆的交点F、G,如果没有交点的话,就移动D、E、C产生交点,选择点C、F,“构造”——“轨迹”;选择点C、G,“构造”——“轨迹”.这样就画出了以D、E为焦点,AB长为长轴长的椭圆,如图所示:

       法二:这是一个在考试中经常出现的一个方法,绘制圆B,在圆内绘制一点A,在圆上绘制一点C,选中A、C,“构造”——“线段”,选中B、C,“构造”——“直线”,选中线段AC,“构造”——“中点”,构造出AC中点D,选中点D、线段AC,“构造”——“垂线”,选中该垂线和直线BC,“构造”——“交点”,构造出交点E,选中C、E,“构造”——“轨迹”,就得到一个椭圆轨迹,如图所示,该椭圆以A、B为焦点,椭圆半径长为长轴长,道理很显然,就不赘述了.
你可以拖动A点,来看不同的椭圆,不过万一不小心把A点拖到了圆的外面,你可别吓一跳,这个我们后面会说到.
       法三:这也是一个考试中经常出现的问题,如图所示,绘制出两个圆,是内含关系,下面来画一个和圆A内切,和圆B外切的圆.
       在圆A上取一点C,构造直线AC,以C为圆心,圆B的半径为半径作圆,该圆交直线AC与D、E两点,其中E点在圆A外,连接BE,构造BE的中垂线交直线AC与F点,以F为圆心,FC为半径作圆,该圆就与圆A内切,与圆B外切,如图所示:
       为什么这个圆与圆A内切,与圆B外切,由两圆的位置关系,很好证明,在此就不赘述了,隐藏不必要的直线和圆,如图所示:
       显然F到A、B的距离之和等于圆A和圆B的半径之和,所以F点的轨迹就是以A、B为焦点,圆A和圆B的半径之和为长轴长的椭圆,选中点C、F,构造轨迹,如图所示:

       我们也可以构造BD的中垂线,能构造出和圆A圆B都相切的另一个圆,其圆心也是椭圆,当然,你可以拖动圆A或者圆B,也会吓一跳,后续我们会专门介绍这个.
       教材上没有介绍椭圆的第二定义,就是到一个定点和一条定直线(定点不在定直线上)距离之比等于定值e(0<e<1)的点的轨迹为椭圆,其中e就是该椭圆的离心率,有兴趣的同学可以自己去研究.
       那么可以利用这个定义来画椭圆:
       法四:“绘图”——“定义坐标系”,“右键”——“隐藏网格”,在x轴上取一点A,过A作x轴的垂线l,在x轴上取两点B、C,选中B、C,“构造”——“以圆心和圆周上的点作圆”,选中B、C,“度量”——“坐标距离”,“数据”——“新建参数”,将名称改为e,数值改为区间(0,1)内的任意一个数,比如0.6,选中BC的距离和参数e,“数据”——“计算”,算出BC/e,右键BC/e,在x轴上绘制该点,选中该点和原点,“变换”——“标记向量”,选中点A,“变换”——“平移”——“标记平移”,得到点A’,过A’作x轴垂线,交圆B于F、G,分别选中C、F和C、G,“构造”——“轨迹”,得到一个以B为焦点,l为准线的椭圆,如图所示:

       我们可以改变e的值以及点B和直线l的位置,让椭圆发生变化.
二.通过椭圆方程画椭圆:
       法一:以椭圆的标准方程x^2/2+y^2=1为例,其上半椭圆是个函数,下半椭圆也是函数,所以只需要画两个函数即可,先画函数y=sqrt(1-x^2/2),再画函数y=-sqrt(1-x^2/2),如图所示:

       也可以画上半部分以后,在上面取点关于x轴对称,构造出下半部分.
       法二:椭圆的参数方程为x=acosθ,y=bsinθ,θ∈R,所以可以这么画:
定义坐标系,在x轴取一点,度量其横坐标,将该点和其横坐标标签改为a,在y轴取一点,度量其纵坐标,将该点和其纵坐标标签改为b,以原点为圆心,1为半径作圆,在该圆上取一点C,度量其横纵坐标Xc、Yc,计算a*Xc,b*Yc,绘制点D(a*Xc,b*Yc),选中点C和D,“构造”——“轨迹”,即得到一个椭圆,如图所示:
       法三:还是根据椭圆的参数方程,以原点为圆心绘制两个半径不等的圆,在大圆上取一点A,构造射线OA,OA与小圆交于点B,过A作x轴垂线l,过点B作l的垂线交l于C点,选中A、C,“构造”——“轨迹”,即得到一个椭圆如图所示:
       该作法同上一个作法是一个道理.
       法四:椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1其实是圆x^2+y^2=1伸缩变换得到的,举例来说,椭圆x^2/4+y^2=1是圆x^2/4+y^2/4=1上的点的横坐标不变,纵坐标变为原来的一半所得到的,所以绘制圆x^2/4+y^2/4=1,在其上取一点A,过A作x轴垂线交x轴于点B,构造线段AB,构造AB中点C,选中A、C,构造轨迹,即得到一个椭圆如图所示:

       这个形象的感觉,就是把圆压缩了成为一个椭圆,当然不取AB中点,取别的等分点也可以,就会得到不同的椭圆.
三.通过椭圆性质画椭圆:
       椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1可以变形为y^2/(x^2-a^2)=-b^2/a^2(x≠±a),这个式子的含义就是x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点(非左右顶点)和左右顶点连线的斜率之积为-b^2/a^2,所以我们可以这么画椭圆:在x轴上取一点A,双击y轴,选择A,“变换”——“反射”,得到其关于y轴的对称点A’,以A为圆心,作一个小圆,在圆上取一点B,构造直线AB,度量AB的斜率,新建参数t,数值改为(-1,0)内的任意值,比如-0.5,选中AB的斜率以及参数t,计算出t/AB的值,度量出A’的横坐标,选中其横坐标和t/AB的值,绘制新函数f(x)=t/AB的斜率(x-XA’),构造该函数和直线AB的交点C,选中B、C,构造轨迹,得到一个椭圆如图所示:

       其实上述结论可以升级,椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点和该椭圆上关于原点对称的两点连线的斜率(如果斜率存在的画)之积为-b^2/a^2,也就是不一定是x轴上的两点,只要关于原点对称即可,所以A和A’只要关于原点对称即可,就不赘述了.当然这个画法其实也可以说就是通过方程来画图,毕竟该性质就是方程的一个变形,其实椭圆所有的性质就是通过定义和方程得到的.
       综上,我们用9个不同方法画出了椭圆,当然还有很多方法,大家可以自己去挖掘,相信如果你能自己画出一个椭圆,那么对椭圆的定义、方程和性质一定会有更深的认识.

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